ラグランジアンの定義に違いがあっても、導き出される運動方程式に実質的な違いが現れなかった理由のひとつに、「座標系の取り方」の問題があります。
物理学では、座標軸の正方向と負方向をどう定義するかによって、エネルギーの正負も容易に入れ替わります。たとえば、地球上で「上方向」を正に取れば、位置エネルギーは上に行くほど増加しますが、逆に「下方向」を正に取れば、増加・減少の関係は反転します。
このように、エネルギーの符号は座標系の取り方次第で変化するため、ラグランジアンの符号もある程度は相対的なものと言えるでしょう。従来の「$L = T – V$」という定義でも、適切な座標軸を選び、解析を進める限りにおいては、現実の物理法則と整合してきたという実績があります。